青山軒

原始体渲染公式：

$$I(\gamma(t)) =\int T(t) \, \sigma(\gamma(t)) \, c(\gamma(t)) \, \mathrm{d}t, \tag{1}$$

在体积泼溅中，有

$$\sigma(\bm{x}) = \sum_{i=1} ^ K \sigma_i \, \mathcal{G}_i(\bm{x}). \tag{2}$$

第 $i$ 个高斯在 $t$ 处的密度贡献为 $\sigma_i \, \mathcal{G}_i(\gamma(t))$，对第 $i$ 个高斯沿射线积分：

$$\begin{aligned} & \int_\R \sigma_i \, \mathcal{G}_i(\gamma(t)) \, \mathrm{d}t \\ = & \sigma_i \int_\R \mathcal{G}_i(\gamma(t)) \, \mathrm{d}t, \end{aligned}$$

令

$$\tau_i := \int_\R \mathcal{G}_i(\gamma(t)) \, \mathrm{d}t, \tag{3}$$

那么第 $i$ 个高斯的密度贡献就可以表示为 $\sigma_i \tau_i$，因此透射率

$$T_i = \prod_{j=i} ^ {i-1}(1 - \sigma_i \tau_i). \tag{4}$$

所以

$$I(\gamma) = \sum_{i=1} ^ K c_i (\sigma_i \tau_i) T_i,$$

$$\boxed{ I(\gamma) = \sum_{i=1} ^ K c_i \sigma_i \tau_i \prod_{j=1} ^ {i-1} (1 - \sigma_j \tau_j), \quad \text{with } \tau_i = \int_\R \mathcal{G}_i(\gamma(t)) \, \mathrm{d}t. } \tag{5}$$

形如

$$y(x)' + P(x)y(x) = Q(x) \tag{1}$$

的微分方程称为一阶线性微分方程．

解这种方程常用的方法叫积分因子法．我们希望找到一个函数 $\mu(x)$，使得

$$(\mu y)' = \mu y' + \mu P y = \mu Q \tag{2}$$

成立。根据乘积求导公式

$$(\mu y)' = \mu y' + \mu'y, \tag{3}$$

任务目标

通过 $N$ 套多视角图片、相机内参（intrinsic，包括焦距、宽高等）和相机外参（extrinsics，包括旋转、平移）

$$\{\bm{I}_i, \bm{K}_i, \bm{W}_{\!i}\}_{i=1}^N$$

用可微的渲染来重建 3D 场景．

对于每个视角 $i$，都使用当前的参数 $\theta$ 来渲染场景，获得图像 $\bm{I}_{\theta, i}$，然后将这张图像与其对应的输入图像 $\bm{I}_i$ 进行比较，使 $\bm{I}_i \approx \bm{I}_{\theta,i}$．这可以通过使用标准梯度下降算法，达到最小化光度损失 (photometric loss) 以实现：

$$\mathcal{L}(\theta) =\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \| \bm{I}_{\theta,i} -\bm{I}_i \|^2. \tag{1}$$

群晖系统在某次升级过后就不支持原生的 Video Station 了（不知道为什么，明明用起来不坏），但我需要一个 Web UI 来管理之前通过 RSS 下载的动画，理想情况是联网识别标题、封面、剧集信息等等。

群晖跟我说建议迁移到 Plex 上，但体验了五分钟就放弃了：Plex 太像 Netflix 那种感觉了，设计哲学不合。再者我又不充会员看剧，我只是想管理一下本地的媒体。GPT 说可以用 Emby，虽然不是官方的，但也有套件支持。我本以为换上 Emby 就万事大吉了，没想到这才是噩梦的开始。

《语言游戏》（克里斯蒂安森 & 查特 著）

对乔姆斯基来说，……语言的深层结构完全没有改变。这种结构脱胎于生物学，而非文化。它是人类语言中不变的核心，以某种方式与我们的基因相连。

根据他（乔姆斯基）的论点，从逻辑上讲，儿童能学习的所有语言都必须符合普遍语法的模式。因此，乔姆斯基可以自豪地宣布结论：所有语言本质上都是一样的。

日常谈话也是高度公式化的——我们所说的有很大一部分是一成不变、老套的问候语和惯用语，还有感叹和抱怨。据估计，约有一半的对话语言是通过对陈旧的语言片段和语言模式进行重组和稍加改造来实现的。

这些句子很不自然，……答案并不在于这些模式的数学结构，乔姆斯基的普遍语法对解释上述奇怪的句子以及其他非常规表达毫无帮助。

期望语言自发并完美地融入一个完全规则的语法系统，就像期待结冰的池塘水面奇迹般地形成一块巨大的晶体一样不可能发生。

进化快的生物最终会去适应进化慢的生物，而不是相反。……快速变化的语言有机体也是如此，它不得不适应人类宿主：语言受大脑影响，而不是语言影响了大脑。