一阶线性微分方程求解

形如

$$y(x)' + P(x)y(x) = Q(x) \tag{1}$$

的微分方程称为一阶线性微分方程．

解这种方程常用的方法叫积分因子法．我们希望找到一个函数 $\mu(x)$，使得

$$(\mu y)' = \mu y' + \mu P y = \mu Q \tag{2}$$

成立。根据乘积求导公式

$$(\mu y)' = \mu y' + \mu'y, \tag{3}$$

希望 $(2)$ 式成立即希望

$$\begin{aligned} \mu'y &= \mu P y \\ \mu' &= \mu P \end{aligned} \tag{4}$$

成立．整理得到

$$\begin{aligned} \frac{\mu'(x)}{\mu(x)} &= P(x) \\ \ln |\mu(x)| &= \int P(x) \, \mathrm{d}x, \end{aligned}$$

所以可以取

$$\mu(x) = e^{\int P(x) \, \mathrm{d}x}. \tag{5}$$

$\mu(x)$ 叫做积分因子．

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由 $(2)$ 式和 $(5)$ 式得到

$$(\mu y)' = \mu Q,$$

两边同时对 $x$ 积分：

$$\begin{aligned} \mu(x) \, y(x) &= \int \mu(x) \, Q(x) \, \mathrm{d}x + C \\ y(x) &= \frac{1}{\mu(x)} \left( \int \mu(x) \, Q(x) \, \mathrm{d}x + C \right), \end{aligned}$$

即：

$$\boxed{ y(x) = e^{-\int P(x) \, \mathrm{d}x} \left( \int e^{\int P(x) \, \mathrm{d}x} \, Q(x) \, \mathrm{d}x + C \right). } \tag{6}$$