体积泼溅对体渲染积分的近似

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原始体渲染公式：

I(γ(t))=∫T(t) σ(γ(t)) c(γ(t)) dt,(1)I(\gamma(t)) =\int T(t) \, \sigma(\gamma(t)) \, c(\gamma(t)) \, \mathrm{d}t, \tag{1}

在体积泼溅中，有

σ(x)=∑i=1Kσi Gi(x).(2)\sigma(\bm{x}) = \sum_{i=1} ^ K \sigma_i \, \mathcal{G}_i(\bm{x}). \tag{2}

第 ii 个高斯在 tt 处的密度贡献为 σi Gi(γ(t))\sigma_i \, \mathcal{G}_i(\gamma(t))，对第 ii 个高斯沿射线积分：

∫Rσi Gi(γ(t)) dt=σi∫RGi(γ(t)) dt,\begin{aligned} & \int_\R \sigma_i \, \mathcal{G}_i(\gamma(t)) \, \mathrm{d}t \\ = & \sigma_i \int_\R \mathcal{G}_i(\gamma(t)) \, \mathrm{d}t, \end{aligned}

令

τi:=∫RGi(γ(t)) dt,(3)\tau_i := \int_\R \mathcal{G}_i(\gamma(t)) \, \mathrm{d}t, \tag{3}

那么第 ii 个高斯的密度贡献就可以表示为 σiτi\sigma_i \tau_i，因此透射率

Ti=∏j=ii−1(1−σiτi).(4)T_i = \prod_{j=i} ^ {i-1}(1 - \sigma_i \tau_i). \tag{4}

所以

I(γ)=∑i=1Kci(σiτi)Ti,I(\gamma) = \sum_{i=1} ^ K c_i (\sigma_i \tau_i) T_i,

I(γ)=∑i=1Kciσiτi∏j=1i−1(1−σjτj),with τi=∫RGi(γ(t)) dt.(5)\boxed{ I(\gamma) = \sum_{i=1} ^ K c_i \sigma_i \tau_i \prod_{j=1} ^ {i-1} (1 - \sigma_j \tau_j), \quad \text{with } \tau_i = \int_\R \mathcal{G}_i(\gamma(t)) \, \mathrm{d}t. } \tag{5}